中国有没有一分的纸币？
有，1953年版的第一套人民币里有1分币. 1948年12月，中国人民银行成立并发行人民币，取代了原来的人民币制度；1950年6月，央行开始发行第一套人民币，至1953年底，共发行壹角至壹万圆10种面值、137个版别。这第一套人民币中就有1分币。
我家里还留着这种1分币呢！不过不是1953年的，是1952年和1955年的。 因为这张1分币上印有“中国人民银行”和“中国人民银行总行金融研究所印”的字样。因此可以判断我的1分钱是当时做试验或是测试用的，或者就是当时银行的“实验钞票（即现在说的试铸币）”。这个实验钞票是不是后来真的投入生产了，目前我还没有找到证据。
因为实验钞票并不经过正式的发行程序，所以留存下来的数量非常少，比传说中的秦始皇统一天下时的“秦半两”还要难得多。 据查资料说，在1953年第二套人民币发行前，为了便于计算，人民银行曾委托天津印钞厂印制了一批无号码的1分币作为试验，其中还有加印了“试验品”字样的。但是后来我查阅一些相关资料又发现，这种说法并没有得到其他方面的证实，甚至被很多钱币收藏爱好者所否认。所以我家里这2张1分币到底是哪一年发行的还真没法判断。
如果真要弄清楚到底是哪一个版本，唯一的方法是查看印钞厂的存档，那真是比考清史难多了…… 以上所说只是针对第一套人民币1分币的情况进行解答。至于题主所说的第二个问题，从1955年开始，随着第二套人民币的发行以及各票面图案的公布，社会上出现了各种假币，这其中就包括1分币。因此中国人民银行于1956年发布了《关于严禁伪造国家货币通则》，对伪造国家货币的行为进行了打击。